Question

已知⊿ABC中,∠A=90°,AB=ACBD是中线,AF⊥BD于E,交BC于F.求证：∠ADB=∠FDC

Answer 1

过A作∠BAC的平分线,交BD于点G
△ABC中,∠A=90°,AB=AC
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠C=45°
AG平分∠BAC
∴∠BAG=∠CAG=∠BAC/2=90°/2=45°
∴∠BAG=∠C=∠CAG
Rt△ABD中,显然有：∠ABE+∠ADB=90°
而AE⊥BD于E
∴∠AED=90°
于是在Rt△AED中,有：∠CAF+∠ADB=90°
∴∠ABE=∠CAF
在△ABG和△CAF中：∠BAG=∠C,∠ABD=∠CAF,AB=AC
∴△ABG≌△CAF
∴AG=CF
BD是AC边上的中线
∴AD=CD
在△GAD和△FCD中：AD=CD,∠CAG=∠C,AG=CF
∴△GAD≌△FCD
∴∠ADB=∠FDC