Question

求一函数,其有n阶导数,且f(0)的n阶导为0的原函数

Answer 1

设函数为f(x)，由题意得f(0)的n阶导数为0，即f^(n)(0)=0。
我们考虑求出f(x)。因为f(x)是n阶可导的，所以我们可以考虑使用泰勒公式：
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^(n-1)(0)x^(n-1)/(n-1)! + f^(n)(θ)x^n/n!
其中θ是介于0和x之间的某个数。
因为f^(n)(0)=0，所以我们可以把上面的式子写成：
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^(n-1)(0)x^(n-1)/(n-1)!
注意到上面的式子中只有前n-1项是x的多项式，因此我们可以将f(x)写成
f(x) = g(x) + C
其中g(x)是一个x的n阶多项式，C为任意常数。因为C是任意的，我们可以让C=f(0)，即g(0)=0。
因此，一个满足题意的函数可以写成
f(x) = g(x) + f(0)
其中g(x)是一个x的n阶多项式，且g(0)=0。