Question

如何证明调和平均数小于等于几何平均数小于等于算术平均数小于等于平方平均数

如题

Answer 1

　用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 　　引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。 　　注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 　　原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)^n≥a1a2…an。 　　当n＝2时易证； 　　假设当n＝k时命题成立，即 　　((a1＋a2＋…＋ak )／k)^k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2 ，…，a(k＋1)中最大者，则 　　k a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。 　　设s＝a1＋a2＋…＋ak， 　　{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1) 　　＝{s/k＋[k a(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1) 　　≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k a(k＋1)－s]／k(k＋1) 用引理 　　＝(s／k)^k* a(k＋1) 　　≥a1a2…a(k＋1)。用归纳假设 　　下面介绍个好理解的方法 　　琴生不等式法 　　琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点， 　　则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 　　设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数 　　所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)] 　　即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n) 　　在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）

Answer 2

二元的易证，多元的就有点麻烦了。下面给二元的证明，多元的找本竞赛书看吧。
以下设a、b均为正数（这是为了避免分母为0的情况，否则对一些式子非负数也成立）。
基础的，几何和算术：因(a - b)^2 >= 0，即(a + b)^2 - 4ab >= 0，故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
调和与几何：利用上式，有1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) <= ab / 2√(ab).
算术与平方：因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0，故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.

n元的情况，几何与算术可以用归纳法来证，有一点小技巧；也可以做为其他一些不等式的推论，如排序不等式、Cauchy不等式，Jensen不等式等。另几个也是类似的。其中Jensen不等式是关于凸函数性质的，证明要用到高等数学，不过比较广泛，上面的几个不等式好像都可以用它推出来。要看初等的证明方法还是看竞赛书吧。

Answer 3

调和平均<=几何平均<=算术平均<=平方平均
即1/(1/a+1/b)<=根号(ab)<=(a+b)/2<=根号[（a^2+b^2）/2]调和平均=1/(1/a+1/b)几何平均=根号(ab)算术平均=(a+b)/2平方平均=根号[（a^2+b^2）/2]