Question

圆锥的体积怎样推导出来的？

Answer 1

• 一、等效替代法：

  圆柱的体积为;SH

  圆锥的体积是圆柱的三分之一(这个自己做实验就可以看出来.如:拿一个圆柱的器具和一个圆锥的器具,在圆锥的器具里倒满水,把水往圆柱的器具里倒,倒三次才倒满.对了,这个圆锥的器具的半径和高要和圆柱的器具一样),即用一个圆锥盛三次水,正好等于一个等低等高圆柱的容积,用圆柱的容积替代了圆锥的体积

  所以圆锥的体积V＝1/3Sh

  二、用微积分推导

  思路是将圆锥微分为无限个半径逐渐减小的圆片的堆积,微圆片看成高度无限小的圆柱
  设圆锥的高为HM地面半径R

  几何法得到,每个界面的半径与界面高度的关系为 r=R-Rh/H

  积分πr^2h

  =E（π^2h)

  ∫(πr^2)dh=∫πR^2（1+h^2/H^2 -2h/H)dh h从0积分到H

  =πR^2(H+H^3/3H^2-H^2/H

  =πR^2(H+H/3-H

  =πR^2H/3