Question

怎么证明平行四边形对角线与相邻边长度关系？

Answer 1

方法一:

设平行四边形ABCD,对角线AC,BD

则AC²+BD²=2(AB²+AD²)

在三角形ABC中,由余弦定理有

AB²+BC²-2*AB*BC*cosB=AC²

同理,在三角形ABD中

AB²+AD²-2*AB*AD*cosA=BD²

两式相加得,并注意到BC=AD

2AB²+2AD²-2*AB*AD(cosB+cosA)=AC²+BD²

因为A与B互补,所以cosA+cosB=0

所以有2(AB²+AD²)=AC²+BD²

即AC²+BD²=2(AB²+AD²)

方法二:

设平行四边形为ABCD,对角线的交点是O

AB=DC,AD=BC

AB^2+AD^2+DC^2+BC^2=2AB^2+2BC^2=2(AO+OB)^2+2(BO+OC)^2=2AO^2+4AO*OB+2OB^2+2BO^2+2BO*OC+OC^2=2[AO^2+2AO*OB+BO^2+BO^2+2BO*OC+OC^2]=2[2AO^2+2(AO+OC)*OB+2BO^2]=2[AC^2/2+AC*DB+BD^2/2]=AC^2+2AC*DB+BD^2=(AC+BD)^2

平行四边形两对角线的和平方等于平行四边形四边的平方和.