Question

求大神算一下这个微分方程 顺便讲解一下特征根的重数是什么、怎么看？谢谢了！

Answer 1

解法如下：

因为齐次方程y"+y=0的特征方程是r^2+1=0，则特征根是r=±i (二复数根)，

所以此特征方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1，C2是任意常数)，

设原方程的解为y=Ax+B，则代入原方程，化简得：

(A+1)x+B=0==>A+1=0，B=0==>A=-1，B=0

y=-x是原方程的一个特解，

故原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx-x。

特征方程有n个相同的根，特征根的重数就是n。比如，此题的特征方程是r^2+1=0，特征根是2个单根r=i和r=-i 。所以此特征根的重数就是1。

扩展资料

齐次方程：

在方程中只含有未知函数及其一阶导数的方程称为一阶微分方程。其一般表达式为：dy/dx_p(x)y(x)=q(x)，其中p(x)、q(x)为已知函数，y(x)为未知函数，当式中q(x)≡0时，方程可改写为：dy(x)/dx_p(x)y(x)=0。

形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”，这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',??的次数都是一次（这里的次数指的是每一项关于y'、y''等的次数。

如：y'、y"是一次的，y'y''是二次的），而“齐次”是指方程中每一项关于自变量x的次数都相等（都是零次）。

方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不为零，因而就要称为“非齐次线性方程”。 

参考资料来源：百度百科：齐次