Question

高中数学求值域问题

1、y=x+根号下9-x²的值域为_________
2、已知x²+y²=1，则x²+xy+y²的最大值与最小值分别为____________
第二问打错了 应该是x²+xy+2y²

Answer 1

1解：9-x²>=0，则有定义域为[-3,+3]；
对y求导数，得y‘=1-x/根号下9-x²,令y’=0，求得x=根号下4.5，在定义域内，
由于[-3,根号下4.5）,y'>0,即函数单调递增，（根号下4.5，+3]，y‘<0,单调递减，
所以，函数在x=根号下4.5 时，取得最大值，为3根号2；
在x=-3取得最小值，为-3；
即值域为[-3,3根号2];

2解：x²+y²>=2xy，即1>=2xy，得到xy<=0.5,所以最大值为1+0.5=1.5；当且仅当x=y=根号下0.5 时，等式成立。
最小值为0.5，当且仅当x=-y=根号下0.5时成立

追问

第一问能换种方法吗 没学求导。。
第二问题目打错了。。应该是x²+xy+2y²

Answer 2

用均值不等式

1. y 属于-3 到2又根号三

 

图象如下

 

2. 算了吧。。。。学渣告退

Answer 3

1. y=x+√（9-x&#178;）

由9-x&#178;≥0得x&#178;≤9，∴-3≦x≦3

解法1：判别式法（引用WJI371116）

y-x=√(9-x&#178;)；平方之得y&#178;-2yx+x&#178;=9-x&#178;；
整理得2x&#178;-2yx+y&#178;-9=0；
由于x是实数，故其判别式Δ=4y&#178;-8(y&#178;-9)=-4y&#178;+72≧0，
即有y&#178;≦18，故-3√2≦y≦3√2；当x=-(3/2)√2时y获得最小值-3√2；当x=(3/2)√2时y获得最大值3√2;

解法2：换元法

y=x+√9-x^2

设x=a   ,√9-x^2 =b   ,则x^2=a^2,9-x=b^2

所以a^2+b^2=9设a=3cost,b=3sint,t属于【0，π/2】

所以y=cost+sint=3√2 sin(t+π/4)

故最大值为3√2，最小值3

解法3：亦可用求导法考虑单调性

2.     x^2+y^2=1典型的三角换元        (引用WJI371116）

∵x&#178;+y&#178;=1，∴可设x=cost，y=sint；t∈R；
于是u=x&#178;+xy+2y&#178;=cos&#178;t+sintcost+2sin&#178;t=sin&#178;t+sintcost+1=(1/2)(1-cos2t)+(1/2)sin2t+1
=(1/2)(sin2t-cos2t)+3/2=(√2/2)sin(2t-π/4)+3/2
故(3-√2)/2≦u≦(3+√2)/2。

但此问应该考虑是否还有其他方法，我还没想出来

Answer 4

1、y=x+√(9-x²)的值域为_________
解：由9-x²≧0，得x²-9=(x+3)(x-3)≦0，故定义域为-3≦x≦3；
y-x=√(9-x²)；平方之得y²-2yx+x²=9-x²；
整理得2x²-2yx+y²-9=0；
由于x是实数，故其判别式Δ=4y²-8(y²-9)=-4y²+72≧0，
即有y²≦18，故-3√2≦y≦3√2；当x=-(3/2)√2时y获得最小值-3√2；当x=(3/2)√2时y获得最大值3√2;
2、已知x²+y²=1，则x²+xy+2y²的最大值与最小值分别为——
解：∵x²+y²=1，∴可设x=cost，y=sint；t∈R；
于是u=x²+xy+2y²=cos²t+sintcost+2sin²t=sin²t+sintcost+1=(1/2)(1-cos2t)+(1/2)sin2t+1
=(1/2)(sin2t-cos2t)+3/2=(√2/2)sin(2t-π/4)+3/2
故(3-√2)/2≦u≦(3+√2)/2。

Answer 5

提交回答动不动就违规，真是麻烦

yskyskyer123|四级
y=x+√（9-x²）
由9-x²≥0得x²≤9，∴-3≦x≦3
解法1：判别式法（引用WJI371116）
解：由9-x²≧0，得x²-9=(x+3)(x-3)≦0，故定义域为-3≦x≦3；
y-x=√(9-x²)；平方之得y²-2yx+x²=9-x²；
整理得2x²-2yx+y²-9=0；
由于x是实数，故其判别式Δ=4y²-8(y²-9)=-4y²+72≧0，
即有y²≦18，故-3√2≦y≦3√2；当x=-(3/2)√2时y获得最小值-3√2；当x=(3/2)√2时y获得最大值3√2;
但这是个错解，我也没细看
，主要看法2
解法2：换元法
y=x+√9-x^2
设x=a ,√9-x^2 =b ,则x^2=a^2,9-x=b^2
所以a^2+b^2=9设a=3cost,b=3sint,t属于【0，π】
所以y=cost+sint=3√2 sin(t+π/4)
故最大值为3√2，最小值-3

解法3：亦可用求导法考虑单调性

2. x^2+y^2=1典型的三角换元 (引用WJI371116）
。解：∵x²+y²=1，∴可设x=cost，y=sint；t∈R；
于是u=x²+xy+2y²=cos²t+sintcost+2sin²t=sin²t+sintcost+1=(1/2)(1-cos2t)+(1/2)sin2t+1
=(1/2)(sin2t-cos2t)+3/2=(√2/2)sin(2t-π/4)+3/2
故(3-√2)/2≦u≦(3+√2)/2。
但此问应该考虑是否还有其他方法，我还没想出来