Question

高中数学题

已知y=-4x²+4ax-a²-4a在0≤x≤1时有最大值-5，求实数a的值

Answer 1

y=--4*(x--a/2)^2 --4a y在0≤x≤1上的最大值只可能在x=0,1或a/2处取到 （1） 在a/2 处取到，则---4a=--5 a=5/4 此时要求对称轴x=a/2落在（0,1）之间，而对称轴x=a/2=5/8恰好落在（0,1）之间 （2） 在x=1处取到最大值，y=--4-a^2=-5 a=1或-1 此时要求对称轴在1的后面，而对称轴x=a/2在1的前面，故舍去 （3）在x=0处取到，y=--a^2 --4a =--5 解得:a=--5或1 此时要求对称轴在0的左边， 而对称轴x=a/2 =--5/2 (满足对称轴在0的左边）或1/2不满足对称轴在0的左边，综上：a=5/4或--5

Answer 2

显然，抛物线开口向上。
当x=-4a/(-8)=a/2时，取最大值。a/2∈[0，1]，a∈[0,2]
所以-4×（a/2）²+4a×（a/2）-a²-4a
=-a²+2a²-a²-4a
=-4a，
-4a=-5，a=5/4.满足上述a∈[0,2]。
所以，a=5/4。

Answer 3

抛物线开口向下，有最大值。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a），当x=-4a/-8=a/2时，取最大值，

将x=a/2代入定义域，0≤a/2≤1，a∈[0,2]

将x=a/2代入解析式，-4×（a/2）²+4a×（a/2）-a²-4a=-4a
-4a=-5，a=1.25,满足a∈[0,2]。

Answer 4

对称轴在x=0左边时，x=0时取最大值，代入a=-5，a=1舍去因为不符合对称轴在x=0。。对称轴在x=0与x=1之间时，x=a/2时取最大值，解个方程便有答案，如果有多余答案要舍，对称轴在x=1右边时，代入解得答案，同样如果不符合的要舍

Answer 5

导数法.
f（x）’=-8x+4a
令f（x）’=0
解得 x=a\2
讲 x=a\2带入y=-4x²+4ax-a²-4a =-5. 即解得a=5\4