Question

关于原函数存在性判断的问题。有一句话不理解！求教！

若函数f(x)在某区间内有第二类间断点，则需对函数做具体分析才能判断是否在该区间存在原函数。这句话里的“具体分析”到底是怎么个分析法？我能想到的是y=1/x在0处有无穷间断点，但它存在原函数。那无穷间断点但不存在原函数的例子呢？还有对于任意情况有没有通用解法和思路？先谢谢了！

Answer 1

数理分析中有一个达布定理，这个定理很清楚的告诉我们：若一个不连续的函数存在原函数，那么这个函数的间断点，一不是可去间断点，二不是跳跃间断点，三不是无穷间断点，只能是震荡间断点。至于存在震荡间断点的函数是否一定存在原函数，这超出了高等数学范围，不用管。因此严格来说，y=1/x（x不等于0）是不存在原函数的，你可能会说ln|x|是它的一个原函数，但是ln|x|根本不连续，怎么可导？（好好思考一下不定积分与原函数之间的关系）。我们导ln|x|时，只是分开来导。从另一个方面来说，x=0是y=1/x的无穷间断点，因此在任意一个含有坐标原点的区间上y=1/x根本不可积，更不要说存在原函数。因此∫1/xdx=ln|x|+c,只是约定俗成的记法（两个区间合并起来），严格来说，它不是不定积分。当然，y=1/x(x>0)或y=1/x(x<0)都是存在原函数的。
最后说一句，一个函数若存在原函数，它的原函数不一定是初等函数，即不一定要找到能够用初等函数表达式来表示的原函数，才能说明原函数的存在性。