Question

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已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1，当x>=0时，f(x)=a*e^x
1、若当x<=0时都有不等式：f(x)+kx-1>=0恒成立，求实数k的取值范围。
2、求最大的整数m(m>1),使得存在t属于R，只要x属于[1,m],就有f(x+t)<=ex

Answer 1

偶函数f(x)的最小值为1,易知f(x)=a*e^x是单调递增，f(0)＝1,得a=1,当x>=0时，f(x)=e^x,
当x<=0时，f(x)=e^(-x)
1、x<=0时都有不等式：f(x)+kx-1>=0恒成立，令g(x)=e^(-x)+kx-1，则g'(x)=-e^(-x)+k,
k<=1时,g'(x)<=0,则g(x)单减，g(x)>=g(0)=0,g(x)=e^(-x)+kx-1>=0恒成立.
k>1时，令g'(x)=0，求得x=-lnk，此时g(-lnk)=e^(lnk)-klnk-1=k-klnk-1,
考虑函数h(k)=k-klnk-1,h'(k)=-lnk<0，易知h(k)单减，h(k)<=h(1)=0恒成立,所以
x<-lnk,g'(x)>0，g(x)单增，
x>-lnk,g'(x)<0,g(x)单减，g(x)在x=-lnk取最大值。g(x)<=g(-lnk)<=0
综上所述，实数k的取值范围为(-∞,1]
2、作函数图像f(x)=e^(-x)(x<0)，=e^x(x>=0)，g(x)=ex,h(x)=e(x+2)
f(x)与g(x)的交点只有一个是C(1，e)，f(x)与h(x)的交点是A(-1，e)和B(1+ln2，e^(1+ln2))，
f(x+t)是f(x)沿y=1平移的结果，当t＝-2时，h(x)平移到g(x)，A(-1，e)移到C点(1，e)，
B(1+ln2，e^(1+ln2))移到(3+ln2，e^(1+ln2))，AB线段是满足题设条件的最大范围。
所以m<=3+ln2,最大的整数m=3
此题图形结合，易于理解。图像不好画，请自己画一下。

Answer 2

已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1，当x>=0时，f(x)=a*e^x
1、若当x<=0时都有不等式：f(x)+kx-1>=0恒成立，求实数k的取值范围。
2、求最大的整数m(m>1),使得存在t属于R，只要x属于[1,m],就有f(x+t)<=e^x

解：x≥0时，f(x)为增函数，又它是偶函数
所以 f(x) 的最小值为f(0)=a=1
a=1
x≥0时，f(x)=e^x
x<0,-x>0
f(x)=f(-x)=e^(-x)
即f(x)为分段函数，f(x)的解析式为：
当x>=0时, f(x)=e^x
当x<0时, f(x)=f(-x)=e^(-x)；

1、当x<=0时都有不等式：f(x)+kx-1≥0恒成立，
即e^（- x ） ≥1-kx恒成立，

因 x≤0,f(x)为单调减函数
<==>Min f(x)=1≥1-kx，
即1≥1-kx，
0≤kx，
由x≤0,得
k≤0.
∴实数k的取值范围为：(-∞,0].

2、f(x+t)≤e^x x∈〔1,m〕
e^|x+t|≤e^x
(a) 当x+t≥0即t≥-x时, e^(x+t)≤e^x恒成立
又因 x>0,f(x)为单调增函数
<==> Maxf(x+t)=e^(x+t)≤Min(e^x)=1 ,x∈〔1,m〕即m+t≤1，t≤1-m
又因t≥-x，x∈〔1,m〕即t≥-1
∴-1≤t≤1-m
又最大的整数m(m>1),
∴最大的整数m=2(m>1),

(b) 当 x+t≤0即t≤-x时，e^(-x-t)≤e^x 恒成立
又因 x<0时，f(x)为单调减函数
<==> Maxf(-x-t)=e^(-x-t)≤Min(^x)=1,x∈〔1,m〕即-m-t≤1，t≥-m-1，
又因t≤-x，x∈〔1,m〕即t≤-m
故：-m-1≤t≤-m
又最大的整数m(m>1),
故 无解

综上
最大的整数m=2(m>1)。

追问

第二问是f(x+t)=ex,不是e^x啊？

Answer 3

【解】由于f(x)是偶函数，所以，当x<0时，f(x)=a*e^(-x)
易知f(x)在[0,+∞)上是增函数，故在(-∞,0)上是减函数，
则最小值为f(0)=a=1
所以f(x)=e^|x|
1、x<=0时，f(x)+kx-1=e^(-x)-1+kx>=0恒成立，
即e^(-x)-1>=-kx恒成立
易知F(x)=e^(-x)-1在(-∞,0]上单调递减，最低点是(0,0)
则：-k≧0 故：k的取值范围是(-∞,0]
2、