Question

实对称矩阵的秩和对角矩阵的秩相同吗

Answer 1

前提条件是A可对角化。

此时 存在可逆矩阵P满足 P^-1AP = 对角矩阵

r(A) = r(P^-1AP) = r(对角矩阵) = 非零特征值的个数。

或者应该是可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数，矩阵与其对角阵秩必然相等，对角阵的秩为非零特征值的个数。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量。如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。

扩展资料：

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

在A变换的作用下，向量ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍。称ξ是A 的一个特征向量，λ是对应的特征值（本征值），是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量。

前提条件是A可对角化

此时 存在可逆矩阵P满足 P^-1AP = 对角矩阵

r(A) = r(P^-1AP) = r(对角矩阵) = 非零特征值的个数

或者

应该是可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数，矩阵与其对角阵秩必然相等，对角阵的秩为非零特征值的个数。

扩展资料

矩阵的秩的定理：

若A~B，则R(A)= R(B)。

根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。这就给出求矩阵秩的方法。

如果向量组：

（I）α1，α2，...，αsα1，α2，...，αs可以由。

（II）β1，β2，...，βtβ1，β2，...，βt线性表出，则r(II)≥r(I)r(II)≥r(I)。

解释为：能表出其他向量组，则其他向量组必然在自己的范围内，如果II的秩没有I大，则撑不起I张起的空间。这是很酷的一个定理。

r(A) = A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）= A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）。

初等变换的向量组的秩不变。

前提条件是A可对角化

此时 存在可逆矩阵P满足 P^-1AP = 对角矩阵

r(A) = r(P^-1AP) = r(对角矩阵) = 非零特征值的个数

或者

应该是可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数，矩阵与其对角阵秩必然相等，对角阵的秩为非零特征值的个数