Question

请问如何将以下级数写成积分形式？

如图。

Answer 1

首先可以证明, 若r ≤ 1, k不为2π的整数倍, 则级数发散.
以下仅讨论r > 1的情形, 此时级数收敛.

∫{0,+∞} x^(r-1)·e^(-nx)dx
= 1/n^r·∫{0,+∞} (nx)^(r-1)·e^(-nx)d(nx)
= Γ(r)/n^r.
因此1/n^r = ∫{0,+∞} x^(r-1)·e^(-nx)dx/Γ(r).
∑{1 ≤ n} sin²((nk)/2)/n^r = 1/Γ(r)·∑{1 ≤ n} ∫{0,+∞} x^(r-1)·sin²((nk)/2)·e^(-nx)dx.

考虑函数项级数∑{1 ≤ n} x^(r-1)·sin²((nk)/2)·e^(-nx).
对x > 0, ∑{1 ≤ n} x^(r-1)·sin²((nk)/2)·e^(-nx)
= x^(r-1)·∑{1 ≤ n} sin²((nk)/2)·e^(-nx)
≤ x^(r-1)·∑{1 ≤ n} e^(-nx)
= x^(r-1)·e^(-x)/(1-e^(-x))
= x^(r-1)/(e^x-1).
当r > 1, 可知广义积分∫{0,+∞} x^(r-1)/(e^x-1) dx收敛.
于是非负函数x^(r-1)/(e^x-1)在(0,+∞)上(Lebesgue)可积.
由Lebesgue控制收敛定理, 非负函数项级数∑{1 ≤ n} x^(r-1)·sin²((nk)/2)·e^(-nx)可逐项积分.
即∫{0,+∞} ∑{1 ≤ n} x^(r-1)·sin²((nk)/2)·e^(-nx) dx = ∑{1 ≤ n} ∫{0,+∞} x^(r-1)·sin²((nk)/2)·e^(-nx)dx.
也即∑{1 ≤ n} sin²((nk)/2)/n^r = 1/Γ(r)·∫{0,+∞} ∑{1 ≤ n} x^(r-1)·sin²((nk)/2)·e^(-nx) dx
= 1/Γ(r)·∫{0,+∞} x^(r-1)·∑{1 ≤ n} sin²((nk)/2)·e^(-nx) dx.

最后求函数项级数∑{1 ≤ n} sin²((nk)/2)·e^(-nx)的和函数.
在x > 0处, ∑{1 ≤ n} sin²((nk)/2)·e^(-nx)
= ∑{1 ≤ n} (1-cos(nk))/2·e^(-nx)
= 1/2·∑{1 ≤ n} e^(-nx)-1/2·∑{1 ≤ n} cos(nk)·e^(-nx)
= 1/2·(e^(-x)/(1-e^(-x))-1/2·∑{1 ≤ n} (e^(ink)+e^(-ink))/2·e^(-nx))
= 1/2·1/(e^x-1)-1/4·∑{1 ≤ n} e^(n(-x+ik))-1/4·∑{1 ≤ n} e^(n(-x-ik))
= 1/2·1/(e^x-1)-1/4·(e^(-x+ik)/(1-e^(-x+ik))+e^(-x-ik)/(1-e^(-x-ik)))
= 1/2·1/(e^x-1)-1/4·(1/(e^(x-ik)-1)+1/(e^(x+ik)-1)))
= 1/2·1/(e^x-1)-1/4·(e^(x-ik)-1+e^(x+ik)-1)/((e^(x-ik)-1)(e^(x+ik)-1)))
= 1/2·1/(e^x-1)-1/2·(cos(k)·e^x-1)/(e^(2x)-2cos(k)·e^x+1)
= 1/2·(1-cos(k))(e^(2x)+e^x)/((e^x-1)(e^(2x)-2cos(k)·e^x+1))
= sin²(k/2)·e^x·(e^x+1)/((e^x-1)(e^(2x)-2cos(k)·e^x+1)).

于是∑{1 ≤ n} sin²((nk)/2)/n^r可以化为积分形式:
sin²(k/2)/Γ(r)·∫{0,+∞} x^(r-1)·e^x·(e^x+1)/((e^x-1)(e^(2x)-2cos(k)·e^x+1)) dx.