矩阵的等价、相似和合同有什么关系呢?
一、矩阵等价、相似和合同之间的区别:
1、等价,相似和合同三者都是等价关系。
2、矩阵相似或合同必等价,反之不一定成立。
3、矩阵等价,只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换,也即若干可逆矩阵相乘得到。
4、矩阵相似,则存在可逆矩阵P使得,AP=PB。
5、矩阵合同,则存在可逆矩阵P使得,P^TAP=B。
6、当上述矩阵P是正交矩阵时,即P^T=P^(-1),则有A,B之间既满足相似,又满足合同关系。
二、矩阵等价、相似、合同之间联系:
1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件,相似、合同、等价是等秩的充分条件。
2、矩阵等价是相似、合同的必要条件,相似、合同是等价的充分条件。
3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系,存在相似但不合同的矩阵,也存在合同但不相似的矩阵。
4、总结起来就是:相似=>等价,合同=>等价,等价=>等秩。
扩展资料:
矩阵等价:
1、同型矩阵而言。
2、一般与初等变换有关。
3、 秩是矩阵等价的不变量,其次两同型矩阵相似的本质是秩相等。
矩阵相似:
1、针对方阵而言。
2、秩相等是必要条件。
3、本质是二者有相等的不变因子。
矩阵合同:
1、针对方阵而言,一般是对称矩阵。
2、秩相等是必需条件。
3、本质是秩相等且正惯性指数相等,即标准型相同。
通过上述的对比可知,等价关系是三种关系中条件最弱的,合同与相似是特堵的等价关系,若两个矩阵相似或合同,则这两个矩阵一定等价,反之不成立,相似与合同不能互相推导,但是如果两个实对称矩阵式相似的,那一定是合同的。
参考资料: