Question

矩阵的等价、相似和合同有什么关系呢？

Answer 1

一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：

1、等价，相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。

5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即P^T=P^(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。  

3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。 

4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。

扩展资料：

矩阵等价：

1、同型矩阵而言。 

2、一般与初等变换有关。

3、 秩是矩阵等价的不变量，其次两同型矩阵相似的本质是秩相等。

矩阵相似：

1、针对方阵而言。

2、秩相等是必要条件。

3、本质是二者有相等的不变因子。

矩阵合同：

1、针对方阵而言，一般是对称矩阵。

2、秩相等是必需条件。

3、本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同。 

通过上述的对比可知，等价关系是三种关系中条件最弱的，合同与相似是特堵的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立，相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵式相似的，那一定是合同的。

参考资料：

等价矩阵-百度百科

合同矩阵-百度百科

相似矩阵-百度百科