Question

为什么两个圆相交两个圆的方程相减就是两圆两交点所在的直线方程？

如题

Answer 1

已知：圆R:x^2+y^2+dx+ey+f=0和圆S:x^2+y^2+mx+ny+p=0相交于A、B两点求证：圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0同一法：证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)是圆R与圆S的两个交点，所以，x1^2+y1^2+dx1+ey1+f=0 ①x1^2+y1^2+mx1+ny1+p=0 ② x2^2+y2^2+dx2+ey2+f=0 ③x2^2+y2^2+mx2+ny2+p=0 ④所以，①-②，得(d-m)x1+(e-n)y1+(f-p)=0 ⑤ ③-④，得(d-m)x2+(e-n)y2+(f-p)=0 ⑥ 由⑤、⑥，得A(x1,y1)、B(x2,y2)两点同时适合直线方程(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0因为过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线有且只有一条所以，直线方程(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点。因为AB是圆R与圆S的公共弦所以，圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0即有圆R:x^2+y^2+dx+ey+f=0 ⑦圆S:x^2+y^2+mx+ny+p=0 ⑧⑦-⑧，得(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0所以，圆R与圆S的公共弦AB的直线方程为(d-m)x+(e-n)y+(f-p)=0