Question

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB中点,E、F分别是AC、BC上的点,且AE=CF(1)求证：△DEF是等腰三角形

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB中点,E、F分别是AC、BC上的点,且AE=CF(1)求证：△DEF是等腰三角形 （2）若E、F分别在AC、BC上运动，且保持∠EDF＝90°，判断DE＝DF是否仍然成立，试说明理由

Answer 1

∵∠ACB=90°,E是AB中点
∴CE=½AB=AE﹙直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠A=∠ACE
∵∠CDF=∠A
∴∠CDF=∠ACE
∴DF∥CE
∵点D,E分别是AC,AB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC
∴四边形DECF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

Answer 2

根据所给条件能证明，AD=CD=DB，EC=FB,在三角形ECD和三角形FBD中，角ECD=角FBD=45度，故三角形ECD和三角形FBD为全等三角形（边角边），所以ED=FD，则三角形DEF是等腰三角形。