Question

函数f（ x， y）在点（0，0）处可微吗？

Answer 1

二阶可微定义公式：Δy/Δx=lim(Δx->0)(f(0+Δx)-f(0))/Δx=A。

二元函数可微的定义是函数z=f（x，y）在点（x，y）的全增量Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）。令x=y=0，则全增量Δz=f（Δx，Δy）-f（0，0），将符号Δx，Δy换成x，y来表示。

则该题中（x，y）→（0，0）时函数f（x，y）的Δz=f（x，y）-f（0，0）=-2x+y+o（ρ），符合定义的要求，所以f（x，y）在点（0，0）处可微。

必须注意

所谓二重极限存在，是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A。因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。

但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。