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n+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)……+n
=(1+2+3+4+...+n)n-(1×2+2×3+3×4+4×5+..+n(n-1))
=n²(n+1)/2-[(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)...+(n-1)^2+n-1)]
=n²(n+1)/2-[(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2...+(n-1)^2)+(1+2+3+...+n-1)]
=n²(n+1)/2-(n-1)n(2n-1)/6-n(n-1)/2
剩下的自己算吧
这里用到了
1+2+3+。。+n=n(n+1)/2
1²+2²+3²+..+n²=n(n+1)(2n+1)/6
n(n+1)=n²+n
=(1+2+3+4+...+n)n-(1×2+2×3+3×4+4×5+..+n(n-1))
=n²(n+1)/2-[(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)...+(n-1)^2+n-1)]
=n²(n+1)/2-[(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2...+(n-1)^2)+(1+2+3+...+n-1)]
=n²(n+1)/2-(n-1)n(2n-1)/6-n(n-1)/2
剩下的自己算吧
这里用到了
1+2+3+。。+n=n(n+1)/2
1²+2²+3²+..+n²=n(n+1)(2n+1)/6
n(n+1)=n²+n
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1×n+2×(n-1)+3×(n-2)+4×(n-3)+……+(n-1)×2+n×1
=＝1×n+2×(n-1)+3×(n-2)+…＋(n-n/2)×(n/2+1)+(n-n/2+1)×n/2+…(n-3)×4+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1
=1×n+2×(n-1)+3×(n-2)+…＋n/2×(n/2+1)+n/2×(n/2+1)+…(n-3)×4+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1
=n/2×[1×n+n/2(n/2+1)]×2
=n×(n+2)×(n+1)/6
=＝1×n+2×(n-1)+3×(n-2)+…＋(n-n/2)×(n/2+1)+(n-n/2+1)×n/2+…(n-3)×4+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1
=1×n+2×(n-1)+3×(n-2)+…＋n/2×(n/2+1)+n/2×(n/2+1)+…(n-3)×4+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1
=n/2×[1×n+n/2(n/2+1)]×2
=n×(n+2)×(n+1)/6
追问
有具体过程吗？
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n+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)……+n
=∑(i:1->n) i(n-i+1)
=(n∑(i:1->n) i) -( ∑(i:1->n) i^2) + ( ∑(i:1->n) i)
= n. [ n(n+1)/2 ] - (1/6)n(n+1)(2n+1) + n(n+1)/2
=(1/6)n(n+1) . [ 3n -2n-1 +3 ]
=(1/6)n(n+1)(n+2)
=∑(i:1->n) i(n-i+1)
=(n∑(i:1->n) i) -( ∑(i:1->n) i^2) + ( ∑(i:1->n) i)
= n. [ n(n+1)/2 ] - (1/6)n(n+1)(2n+1) + n(n+1)/2
=(1/6)n(n+1) . [ 3n -2n-1 +3 ]
=(1/6)n(n+1)(n+2)
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