Question

一道微积分题

子弹速度以速度v1水平运动，不考虑重力，受到空气阻力F=CV^2,C为常数。那么子弹能飞行多远？飞行多久？
难道真的无解吗

Answer 1

我认为会一直飞下去，
由牛顿定律，-m*dv/dt=cv²(我想把dv当成正的，但实际这是减速运动，所以我加了负号)
-1/v²dv=c/m*dt
两边不定积分1/v=c/m*t＋k(k是常数)
当t=0时，v=v1,解得k=1/v1
整理v=mv1/(m＋cv1t)
令v=0,t为无穷大，子弹不会停下

Answer 2

设子弹质量m 速度v
设

则空气阻力加速度a=-CV^2/m (-号表明方向相反
飞行距离S
微分方程有两个

dv=adt=-C/m *V^2 *dt ---------1
ds=vdt -----------------2

1)==> 1/v=c/m *t+C 代入 (0,v1) C=1/v1
即v=1/[(c/m) * t + 1/v1]

2)==代入1的结果
ds=v*dt=1/[c/m * t + 1/v1] dt
s=(m/c)*ln[(c/m)*t+1/v1]

Answer 3

有点奇怪，标记一下。
明白了，题目出得有问题，不会收敛，路程S＝m/c * （lnv1 －ln0)＝+∞

追问

确实有问题ln0是无限小对吧

追答

确实如此，我算得t要到+∞之后才能速度才能降到0

所以不考虑重力影响的话子弹是可以飞行很远的。

追问

汽车变减速应该也是类似的问题把，应该还是有解吧毕竟速度降低到了某个程度虽然f也会非常小，但是位移也极其小吧，应该有个极限吧

追答

子弹在高速时可以用这个模型，在低速时就不能用这个模型了。
内容可参考：
http://www.baidu.com/link?url=u3ulg5_DkKyCjm5JhX4WosvCYCGeWISgLHZZvnEHrv6XJ_QD6GdCSAYFW-TCVRnXY9zmv0R5Qsq1EJCNgSUooGH6uT39dGJ91RJdKenH9SS

Answer 4

F=cv^2=m*(dv/dt) =m*(dv/dx * dx/dt)=m*vdv/dx 化简得：dv/v=c/m* dx 积分得 f 0到v1 dv/v= f 0到x ( c/m) *dx 得:x=m/c * lnv1

追问

t怎么算呢，是不是通过F*x=1/2mv^2,求出平均力，再求出平均加速度呢？

追答

不是， cv^2=m*(dv/dt) 积分：f0 到t c/m dt=f v1到0 dv/v^2 得：t=m/(cv1) 依然用积分求解，因为是变力做功.

追问

上面的式子好像忽略了ln0啊，S＝m/c * （lnv1 －ln0） 这个问题怎么解决呢？ln0无限小啊