Question

已知F1F2是双曲线x^2/9-y^2/16=1的两个焦点,点P在双曲线上,且|PF1|*|PF2|=32,求证PF1⊥PF2

过程

Answer 1

点P在双曲线上,有|PF1|-|PF2|=±2*3.......(1式)
已知|PF1|*|PF2|=32......(2式)
(1式)^2+2(2式):|PF1}^2+|PF2|^2=100
所以cos∠F1PF2
=(|PF1|^2+|PF2|^2-|F1F2|^2)/(2|PF1|*|PF2|)
=(100-10^2)/(2*32)=0
所以PF1⊥PF2

Answer 2

解：

a=√9=3

b=1

所以c=√10

即：F1F2=2c=2√10

根据双曲线定义：PF2-PF1=2a=6

根据余弦定理：

cos∠F1PF2=[（F1P）^2+（F2P）^2-（F1F2）^2]/2*PF1*PF2

=[（PF2-PF1）^2+F1F2]/2PF1*PF2

=[6^2+√10]/64

=[36+√10]/64

∠F1PF2=arccos[36+√10]/64