Question

设f(x)是定义在R上的函数，且对于任意m，n∈R，恒有f(m+n)=f(m)×f(n)，当x>0时，f(x)<0恒成立且f(1)=-2

求f(x)在[-3，+3]上的值域

Answer 1

1. 对于任意m.n属于R恒有f(m+n)=f(m)+f(n)
   令：m=n=0
   则：f(0+0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0
   令：m=-n
   则：f(-n+n)=f(n)+f(-n)，即：f(-n)=-f(n)
   又有f(x)是定义在R的函数
   所以：f(x)为奇函数
   2.令：m>n>0，所以m-n>0
   f(m)-f(n)=f(m)+f(-n)=f(m-n)<0
   即：f(m)-f(n)<0
   即：f(m)<f(n)
   所以当x>0时，f(x)为减函数
   又因为f(x)为奇函数，
   所以函数f(x)为减函数
   

又有f(2)=f(1)*f(1)=4

f(3)=f(2)f(1)=4*(-2)=-8

f(-3)=-f(3)=8

故函数在[-3,3]上的值域是[-8,8]

Answer 2

令m=n=1,得到f(2)=4，与题设条件f(x)<0 when x>0矛盾。

Answer 3

X>0，f(x)<0恒成立 所以单调递减。F（0）=1。 令m=-n 可以得到F（-n）=1/F（n） 所以X小于零的单调性也就知道了。继而求得值域。