Question

函数f(x)=2cos^2+2sinx+1，x∈[-π/3,5π/6],求函数的最大值和最小值以及取得最值时x的值

急急急！！！这道题啊，不太会做，有哪位大神帮忙解析一下。。。。尽量详细一点

Answer 1

f(x)=2cos^2 x+2sinx+1
=2-2sin^2 x+2sinx+1
=-2sin^2 x+2sinx+3
=-2(sin^2 x-sinx)+3
=-2(sin^2 x-sinx+1/4-1/4)+3
=-2(sinx-1/2)^2+7/2
x∈[-π/3,5π/6]
sinx∈[-√3/2,1]
因此当sinx=1/2时有最大值f(x)=7/2,此时x=π/6或5π/6
sinx=-√3/2时有最大小值f(x)=(3-√3)/2,此时x=-π/3

追问

为什么当sinx=1/2时有最大值f(x)=7/2,此时x=π/6或5π/6
sinx=-√3/2时有最大小值f(x)=(3-√3)/2,此时x=-π/3

追答

f(x)=2cos^2 x+2sinx+1
=2-2sin^2 x+2sinx+1
=-2sin^2 x+2sinx+3
=-2(sin^2 x-sinx)+3
=-2(sin^2 x-sinx+1/4-1/4)+3
=-2(sinx-1/2)^2+7/2
看到化简了吧
这是关于sinx的一元二次函数，因此只要前面的等于0，就得到最大值

Answer 2

你这个题是不是错了应该是f(x)=2cos²x+2sinx+1吧
f(x)=2cos²x+2sinx+1
=2(1-sin²x)+2sinx+1
=2-2sin²x+2sinx+1
=-2(sin²x-sinx+1/4-1/4)+3
=-2(sinx-1/2)²+3
所以当sinx=1/2时f（x）有最大值，既x=π/3或者2π/3f
f(x)有最大值是3

追问

抱歉，打错了f(x)=2cos^2再乘x+2sinx+1其他条件不变
这是我们考试卷上的一道题，老师出的。我做的时候只把f(x)化简了下面的就不太会了

追答

错了
=2(sinx-1/2)²+7/2
最大值改我7/2
最小值是当sinx=-1时f（x）有最小值是-1

追问

谢谢了。我是个高一的学生，做数学题真的很头疼。。。。

追答

我的回答没被采用 真的很杯具

追问

只是你来的稍微晚了一点而已，我真的也很感谢你！你的回答对我也很有用！