Question

已知函数f(x)=1/2ax²-(2a+1)x+2lnx(a属于R)，求单调区间 要过程

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f(x)= 1 2 ax2-(2a+1)x+2lnx (a∈R)， ∴f′(x)=ax-(2a+1)+ 2 x （x＞0）． ∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行， ∴f'（1）=f'（3）， 即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+ 2 3 ， 解得a= 2 3 ． （Ⅱ）f′(x)= (ax-1)(x-2) x （x＞0）． ①当a≤0时，x＞0，ax-1＜0， 在区间（0，2）上，f'（x）＞0； 在区间（2，+∞）上f'（x）＜0， 故f（x）的单调递增区间是（0，2）， 单调递减区间是（2，+∞）． ②当0＜a＜ 1 2 时， 1 a ＞2， 在区间（0，2）和( 1 a ，+∞)上，f'（x）＞0； 在区间(2， 1 a )上f'（x）＜0， 故f（x）的单调递增区间是（0，2）和( 1 a ，+∞)，单调递减区间是(2， 1 a ) ③当a= 1 2 时，f′(x)= (x-2)2 2x ，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）． ④当a＞ 1 2 时，0＜ 1 a ＜2，在区间(0， 1 a )和（2，+∞）上，f'（x）＞0； 在区间( 1 a ，2)上f'（x）＜0， 故f（x）的单调递增区间是(0， 1 a )和（2，+∞），单调递减区间是( 1 a ，2)． （Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max． 由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知， ①当a≤ 1 2 时，f（x）在（0，2]上单调递增， 故f（x）max=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2， 所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1， 故ln2-1＜a≤ 1 2 ． ②当a＞ 1 2 时，f（x）在(0， 1 a ]上单调递增， 在[ 1 a ，2]上单调递减， 故f(x)max=f( 1 a )=-2- 1 2a -2lna． 由a＞ 1 2 可知lna＞ln 1 2 ＞ln 1 e =-1， 2lna＞-2，-2lna＜2， 所以，-2-2lna＜0，f（x）max＜0， 综上所述，a＞ln2-1．