Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA‖平面EDB (2)求证:PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小

Answer 1

⑴连接AC,BD交于O,易知EO//PA,而EO属于面EDB,从而PA//面EDB.
(2)PD⊥面ABCD,则PD⊥BC,又BC⊥CD,所以BC⊥面PCD,有BC⊥ED,在等腰直角三角形中,ED⊥PC,所以ED⊥面PCB,从而ED⊥PB,由已知EF⊥PB得PB⊥面EFD,得证.
⑶由⑵知,要求的是∠DFE的大小.
由⑵ED⊥面PCB得ED⊥EF,设ED=x,则在三角形PDB中易求得DF=(2/根号3)x,
在直角三角形DEF中,可以求得∠DFE=arctan((根号3)/2).

注:有些表达欠妥,但还可知意,呵呵……

Answer 2

1. 连接AC，交BD于点O，连接OE，OE是平面PAC与平面BDE的交线，
因为PA平行的平面BDE 所以PA//OE，O为AC中点，所以E是PC的中点

2. PD⊥底面ABCD PD⊥BC
CD⊥BC
BC⊥面PCD
BC⊥DE
E是PC的中点 PD=DC DE⊥PC
DE⊥面PBC
DE⊥PB
DF⊥PB
PB⊥平面EFD