Question

已知正实数x,y满足1/(x+2)+1/(y+2)=1/4,求xy的最小值

Answer 1

令x+2=a,y+2=b
1/(x+2)+1/(y+2)=1/4,所以ab=4(a+b)
所以xy=ab-2(a+b)+4=2(a+b)+4

4ab≤(a+b)^2等价于
8=2/(1/a+1/b)≤(a+b)/2

所以xy=2(a+b)+4≥36

Answer 2

去分母：4(y+2)+4(x+2)=(x+2)(y+2)
4x+4y+16=xy+2x+2y+4
2x+2y=xy-12
因为x、y是正实数，所以xy>12
两边平方：4x�0�5+8xy+4y�0�5=x�0�5y�0�5-24xy+144
因为4x�0�5+8xy+4y�0�5-16xy=(4x-4y)�0�5≥0
所以4x�0�5+8xy+4y�0�5≥16xy
所以x�0�5y�0�5-24xy+144≥16xy
x�0�5y�0�5-40xy+144≥0
(xy-4)(xy-36)≥0
xy≤4(舍)或xy≥36
所以xy的最小值是36。

Answer 3

X=6 Y=6