Question

设a1>a2>...>an>a(n+1),求证:1/(a1-a2)+1/(a2-a3)+...+1/(an-an+1)+1/(an+1-a1)>0

其中有n 的都是下标，要用到柯西不等式

Answer 1

即证明1/(a[1]-a[2])+...+1/(a[n]-a[n+1])>1/(a[1]-a[n+1])
由柯西不等式的推论知：
左边>=(1+1+...+1)^2/(a[1]-a[2]+a[2]-a[3]+...+a[n]-a[n+1])
=n^2/(a[1]-a[n+1])
>1/(a[1]-a[n+1])

追问

(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2
右边是要开根号的啊

追答

推论！！
好吧，写一下第一步的过程：
左边*((a[1]-a[2])+(a[2]-a[3])+...+(a[n]-a[n+1]))
>=(√1+√1+..+√1)^2
=n^2