Question

Sm=m/n,Sn=n/m.且a1=1/12,则Sm+n的最大值为

已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若正整数m，n满足 m≠n，Sm=m/n，Sn =n/m,且a1=1/12。则Sm+n的最大值为

Answer 1

解：依据等差数列的前n项和公式可得　Sm=ma1+m(m-1)/2d=m/n①
Sn=na1+n(n-1)/2d=n/m ②
两式相减得　(m-n)[a1+(m+n-1)/2d]=(m-n)(m+n)/(mn)
因为 m≠n 所以　m-n≠0，等式两边同时除以（m-n）得
a1+(m+n-1)/2d]=(m+n)/(mn)　③
由①②联立方程组解得 d=2/(mn)，代入③式得　a1=1/(mn)＝1/12，于是 mn＝12
从而 Sm+n=(m+n)a1+(m+n)(m+n-1)/2d=(m+n)[a1+(m+n-1)/2d]=(m+n)^2/(mn)
=(m+n)^2/12=(m+1/m)^2/12
由于函数　f(x)=x+1/x在[1,12]上单调递增，所以
当m=12，n＝1(或n=12,m=1) 时，Sm+n最大为12^2/12=12

Answer 2

郭敦顒回答：
等差数列的公差为2/12，
m=2，S2=1/12+3/12=4/12=1/3；
n=6，末项A6=1/12+（6－1）×2/12=11/12，
Sn=（1/12+11/12）×6/2=3，
∴S2= Sm=m/n=2/6=1/3；
S6=Sn=n/m=6/2=3。
与题中条件相符。
m+n=2+6=8，A8=1/12+（8－1）×2/12=15/12，
所以S（m+n）=S8=（1/12+15/12）×8/2=16/3。