Question

问几道高三数学题

1 若等比数列（|q|<1）中，任何一项都等于该项后面所有项的和，则等比数列的公比是多少
2 已知log(以3为底)x=-1/【log(以2为底）3 】，求x+x^2+x^3+........+x^n+.................
3 已知lim (ax^2+bx+1)/(x-1)=3,求a,b的值（x趋于1）

Answer 1

1 若等比数列（|q|<1）中，任何一项都等于该项后面所有项的和，则等比数列的公比是多少？
解：a‹k›=a‹k+1›[1-q^(n-k)]/(1-q)；
故q=a‹k+1›/a‹k›=(1-q)/[1-q^(n-k)]=[(1-q)q^k]/[q^k-q^n]
∵∣q∣<1，∴n→+∞limq^n=0；
故q=[(1-q)q^k]/q^k=1-q，即有2q=1，∴q=1/2.

2 已知log₃x=-1/(log₂3 )，求x+x²+x³+........+xⁿ+......
解：∵log₃x=-1/(log₂3 )=-log₃2=log₃(1/2)；∴x=1/2；
故x+x²+x³+........+xⁿ+......=n→+∞limx(1-xⁿ)/(1-x)=n→+∞lim(1/2)[1-(1/2)ⁿ]/(1-1/2)=1

3 已知x→1lim (ax²+bx+1)/(x-1)=3,求a,b的值
解：因为x→1lim(x-1)=0，而极限存在，故必有x→1lim (ax²+bx+1)=a+b+1=0...........(1)
于是用罗必达法则得x→1lim (ax²+bx+1)/(x-1)=x→1lim(2ax+b)=2a+b=3....................(2)
由(2)得b=3-2a，代入(1)式得a+3-2a+1=3-a+1=0，故a=4，b=-5.

Answer 2

a(n)=aq^(n-1),|q|<1,
aq^(n-1)=a(n)=aq^n+aq^(n+1)+...=aq^n[1+q+q^2+...+q^k+...]
=aq^n/(1-q),
1=q/(1-q).
1-q=q,q=1/2.