Question

帮忙解答这道题，谢谢

某公司想调查 X 小区居民对家用轿车的潜在需求情况，决定按该区居民家庭每年的收入进行分层随机抽样。该小区的户数总数有 2000 户。其中，高收入者有 200 户，收入标准差为 300 元；中等收入者有 600 户，收入标准差为 200 元；低收入者有 1200 户，收入标准差为 50 元。样本容量计划为 40 户。请用最佳分层随机抽样法分别计算在高收入者、中等收入者、低收入者中应抽的样本数。

Answer 1

最佳分层抽样法是一种优化样本调查方案的方法，它可以让样本更具代表性、更具有效性。在这个问题中，我们可以按照以下步骤计算每个收入层级中应该抽取的样本数：

• 计算每个收入层级的总体中样本比例。例如，高收入者的样本比例为 200/2000 = 0.1，中等收入者的样本比例为 600/2000 = 0.3，低收入者的样本比例为 1200/2000 = 0.6。

• 计算每个收入层级的标准误差。标准误差反映了样本均值与总体均值之间的偏差程度，它是样本容量和总体标准差的函数。高收入者的标准误差为 300/sqrt(200) = 21.21，中等收入者的标准误差为 200/sqrt(600) = 8.16，低收入者的标准误差为 50/sqrt(1200) = 1.44。

• 计算每个收入层级的最优样本容量。最优样本容量是指使得样本估计值的标准误差最小的样本容量。它是标准误差和样本容量的函数。我们可以通过式子 n = N * (s/sqrt(N))^2 / [1 + N * (s/sqrt(N))^2 * (d^2/z^2)] 来计算最优样本容量，其中 N 是总体容量，s 是总体标准差，d 是容忍误差，z 是置信水平的临界值。我们可以选择置信水平为 95%，置信水平的临界值为 1.96。容忍误差可以根据实际情况进行设定。在这个问题中，我们设定容忍误差为每个收入层级的标准误差的一半。

高收入者的最优样本容量为 16.66，中等收入者的最优样本容量为 31.07，低收入者的最优样本容量为 39.77。

• 将最优样本容量四舍五入为整数，得到每个收入层级中应该抽取的样本数。高收入者抽 17 户样本，中等收入者抽 31 户样本，低收入者抽 40 户样本。

因此，在高收入者、中等收入者、低收入者中应抽的样本数分别为 17 户、31 户、40 户。