Question

求数学帝，求∫√2x-x² dx ，求详细过程

求∫√2x-x² dx √：为根号

Answer 1

∫√（2x－x^2）dx
＝∫√［1－（1－2x＋x^2）］dx＝∫√［1－（1－x）^2］dx＝－∫√［1－（1－x）^2］d（1－x）。
令1－x＝sinu，则：u＝arcsin（1－x）、cosu＝√（2x－x^2）、d（1－x）＝cosudu。
∴∫√（2x－x^2）dx
＝－∫√［1－（sinu）^2］cosudu＝－∫（cosu）^2du＝－（1/2）∫（1＋cos2u）du
＝－（1/2）∫du－（1/4）∫cos2ud（2u）＝－（1/2）u－（1/4）sin2u＋C
＝－（1/2）arcsin（1－x）－（1/2）sinucosu＋C
＝－（1/2）arcsin（1－x）－（1/2）（1－x）√（2x－x^2）＋C。

Answer 2

√：为根号, 作用范围是什么？
也就是说，是 √2* x - x² ，还是 √(2x-x²) ?

追问

∫√（2x-x²） dx

追答

∫√（2x-x²） dx = ∫√（1-(x-1)²） d(x-1) = ∫√（1-(x-1)²） d(x-1)
= (x-1)√1-(x-1)²）/2 +arcsin(x-1) /2 + c
= (x-1)√(2x-x²）/2 +arcsin(x-1) /2 + c