Question

已知二次函数 y=-x2+2ax-4a+8

已知二次函数y=-x2+2ax-4a+8
（1）求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点．
（2）当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围．
要详细解题过程

Answer 1

⑴Δ=(2a)^2+4(-4a+8)=4a^2-16a+32=4(a-2)^2+16≥16>0。
∴无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点。
⑵对称轴X=a≤2。

第⑵题只用图象法：
抛物线开口向下，
只有对称在X=2的左边时，X≥2时才单调递减。
(如果对称轴在X=2的右侧，先单调递增后递减)。
∴对称轴X=a≤2。
即a≤2。

追问

因为当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，

且对称轴 x=a
为什么 a≤2？

追答

对称轴必须在X=2或其左侧，不然就不单调了。
设对称轴X=3，图象先上升，后下降。

Answer 2

(1)△=4a^2+4(8-4a)
=4a^2-16a+32
=4(a^2-4a+4)+16
=4(a-2)^2+16>0
无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点

(2)图像对称轴-b/2a=-2a/-2=a

a≤2

追问

因为当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，

且对称轴 x=a
为什么 a≤2？

追答

（-R,a]单调增
[a,R）单调减
2必须在[a,R)，才能保证单调减

a≤2

Answer 3

（1）△=(2a)^2-4(-1)(-4a+8)=4[(a-2)^2+4]>0，所以有两个实根，即与x轴有两个交点
（2）从方程可知，曲线开口朝下，所以，对称轴右侧y随x的增大而减小，因而对称轴横坐标应该在x<=2，即 -2a/(-2)<=2, a<=2

追问

因为当x≥2时，函数值y随x的增大而减小，

且对称轴 x=a
为什么 a≤2？

追答

你画个图看看