Question

如图,在三角形ABC中,角A=60°,BD,CE分别平分角ABC和角ACB

如图,在三角形ABC中,角A=60°,BD,CE分别平分角ABC和角ACB，BD CE交于点O，试判断BE,CD,BC的数量关系并加以证明

Answer 1

BC＝BE＋CD。
［证明］
在BC上取一点F，使∠BOF＝∠BOE。
∵∠FBO＝∠EBO、∠BOF＝∠BOE、BO＝BO，∴△BOF≌△BOE，∴BF＝BE。······①

显然有：
∠BOE＝∠OBC＋∠OCB＝（1/2）（∠ABC＋∠ACB）＝（1/2）（180°－∠A）＝60°，
∴∠COD＝∠BOE＝60°，又∠BOF＝∠BOE＝60°，
∴∠COF＝180°－∠BOE－∠BOF＝180°－60°－60°＝60°，∴∠COF＝∠COD。

∵∠COF＝∠COD、∠FCO＝∠DCO、CO＝CO，∴△FCO≌△DCO，∴CF＝CD。······②

①＋②，得：BF＋CF＝BE＋CD，∴BC＝BE＋CD。

Answer 2

BE+CD=BC
因为角BAC等于60度，那么角ABC+角ACB=120度
且BD和CE为角平分线，那么角OBC+角OCB=60度
角BOC为120度
作OF为角BOC角平分线交BC与F。
那么三角形BOE全等于三角形BOF，同理COD全等于COF
所以BE=BF，CD=CF BC=BF+FC

追问

过程可以完整点吗？

Answer 3

解答：
设∠ABD=x，∠ACE=y，
则∠DBC=x，∠ECB=y，
∴由△内角和定理得：
①、2x＋2y＋60=180
②、x＋y＋∠BOC=180
∴①－2×②整理得：
∠BOC=120°
∴∠EOB=∠DOC=60°
在BC上截BF=BE，
易证：△EBO≌△FBO﹙SAS﹚
∴∠BOF=∠BOE=60°
∴∠FOC=∠DOC=60°
∴易证：△FOC≌△DOC﹙SAS﹚
∴DC=FC
∴BE＋CD=BC。