简单得直接观察是不能发现什么规律的，但是将数字分为奇偶项来看：
奇数项：1、2、4、8、16
偶数项：3、6、9、12
可以分析得到：
奇数项依次是2的0次方，2的1次方，2的2次方，2的三次方，2的四次方。接下来的奇数项为2的五次方，为32。
偶数项：3，6，9。偶数项依次是3的一倍，3的两倍，3的三倍，3的四倍，3的五倍。因此接下来第十个数为15。
于是可得16后的数字是3的五倍15。15后面的数字是2的五次方32。
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找规律基本方法——看增幅
一、如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.
例：4、10、16、22、28……，求第n位数
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2
二、如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列），如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加，此种数列第n位的数也有一种通用求法，如下：
1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
举例说明：2、5、10、17……，求第n位数
分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加.那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n^2-1
所以，第n位数是：2+ n^2-1= n^2+1。
灵德
2024-11-19 广告
观察此式，将此式分为奇偶项：
1、提取出1，3，2，6，4，9，8的奇数项：1，2，4，8。奇数项依次是2的0次方，2的1次方，2的2次方，2的三次方，2的四次方。接下来的奇数项为2的五次方，为32。
2、提取出1，3，2，6，4，9，8的偶数项：3，6，9。偶数项依次是3的一倍，3的两倍，3的三倍，3的四倍，3的五倍。因此接下来第十个数为15。
3、于是可得16后的数字是3的五倍15。15后面的数字是2的五次方32。
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找规律填空的意义，实际上在于加强对于一般性的数列规律的熟悉，虽然它有很多解，但主要是培养你寻找数列一般规律和猜测数列通项的能力（即运用不完全归纳法的能力），以便于在碰到一些不好通过一般方法求通项的数列时，能够通过前几项快速准确地猜测到这个数列的通项公式。
然后再用数学归纳法或反证法或其它方法加以证明，绕过正面的大山，快速地得到其通项公式。
1、标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是 100 ，第n个数是 n。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，……。
序列号： 1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是-1，第100项是—1。
2、公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n或2n、3n有关。
例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（ ），
1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。
3、有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……，
序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在的基础上加2，得到原数列第n项。
4、有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）
同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n，则求出第一百个数为4*100=40000。
