Question

一直抛物线y^2=2px(p＞0)的一条过焦点F的弦,AB被焦点F分成长度为m.n两部分.求证:1/m+1/n为定值

Answer 1

记焦点F的直线与抛物线相交于A,B

几何解法：
由对称性不妨设直线倾斜角θ 0<θ<π/2

焦点F(p/2,0)
准线x=-p/2
准线与x轴交点记为P

过A,B分别向准线做垂线 垂足分别为C,D
过B向AC作垂线 垂足为E
BE与x轴交点记为Q

由抛物线的定义
|AF|=|AC|=m
|BF|=|BD|=n
|PF|=p

ΔBQF∽ΔBEA
|QF|/|AE|=|FB|/||AB|
(p-n)/(m-n)=n/(n+m)
p(m+n)=2mn
p/2=mn/(m+n)
两边取倒数
2/p=1/m+1/n

代数解法：
设A(x1,y1) B(x2,y2)
设直线y=k(x-p/2)
代入y^2=2px得
y^2=2p(y/k+p/2)
y^2-(2p/k)y-p^2=0
则y1*y2=-p^2
x1*x2=(y1^2/2p)*(y2^2/2p)
=(y1y2/2p)^2
=p^2/4

由抛物线定义
1/m+1/n
=1/(x1+p/2)+1/(x2+p/2)
=(x1+x2+p)/[x1x2+p/2(x1+x2)+p^2/4]
=(x1+x2+p)/[p/2(x1+x2)+p^2/2]
=(x1+x2+p)/[p/2(x1+x2+p)]
=2/p