Question

设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值,并求出此时x的取值

Answer 1

|x1-x2| 表示数轴上坐标为 x1、x2 的两点间距离，

因此有结论：奇数个时，x 取正中间那个根时函数值最小；偶数个时，x 取中间两个根之间的任意数，函数值都相等且最小。
如 y=|x-2|+|x+1|+|x-5| ，三个根分别是 -1、2、5 ，因此当 x=2 时，函数值最小为 6 ；
如 y=|x+3|+|x-2|+|x-1|+|x+2| ，四个根分别是 -3、-2、1、2 ，所以当 -2<=x<=1 时，函数值最小为 8 。

本题中，当 b<=x<=c 时，函数最小值为 c-a+c-b+d-c=c+d-a-b 。

Answer 2

1. X<=a   y=a+b+c+d-4x  为递减函数，x=a时，取得最小值 y=b+c+d-3a

2. a<x<=b y=b+c+d-a-2x  为递减函数  x=b 时，取得最小值 y=c+d-a-b

3. b<x<c   y=c+d-a-b

4. c<=x<d   y=d-a-b-c+2x  为增函数  x=c时    取得最小值  y=d+c-a-b

5. x>=d     y=4x-a-b-c-d    为增函数  x=d时    取得最小值  y=3d-a-b-c

   比较以上答案 Y5>Y4=Y3=Y2   Y1>Y4=Y3=Y2  

所以最小值 c+d-a-b   x的取值 b<=x<=c