Question

在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到√n，n为正整数，近似值为ak，k为正整数，并

通过迭代逐步减小|ak-√n|的值来提高ak的精确度.以求√7的近似值为例，迭代过程如下： （1）先估计√7的范围并确定迭代的初始值a1 ∵√4＜√7＜√9∴2＜√7＜3，取a1=2+（2分之3-2）=2.5 （2）通过计算mk=2ak分之（ak）的平方-n和ak+1=ak-mk得到精确度更高的近似值ak+1 （说明：√7≈2.6458，此题中记√7=2.6458，以下结果都要求写成小数形式）
k=1时，m1=2a1分之（a1）的平方-7=_______，a2=a1-m1=_________，|a2-√7|=______
k=2时，m2=几分之几≈_______（精确到0.001），a3=____-_____=_______
|a3-√7|=_________

Answer 1

a1 = 2+(3-2)/2 = 2.5
k=1, m1 = (a1^2 -7 ) / 2*a1 = -0.15, a2 = a1-m1 = 2.65, |a2-sqrt(7)| = 0.004249
k=2, m2 = (a2^2-7)/2a2 = 0.004245, a3 = a2-m2 = 2.645755, |a3-sqrt(7)| = 0.00000341

另一个例子，求根号（10）sqrt(10)
k ak mk 误差
1 3.333333 0.166667 0.171055673
2 3.166667 0.004386 0.004389006
3 3.162281 3.04E-06 3.04159E-06

根号（11）
k ak mk
1 3.333333 0.016667 0.016708543
2 3.316667 4.19E-05 4.18763E-05
3 3.316625 2.64E-10 2.64365E-10