Question

已知由方程 xy=ln(xy)+1 确定了隐函数y=y(x),求(d^2y)/(dx^2)？

需要过程，用求导方法吧，谢谢

Answer 1

解法一：等式两边同时对x求导，可得y+xy'=(y+xy')/xy，整理可得(y+xy')*(xy-1)=0，当xy-1=0时，题目中的原方程成立，(d^2y)/(dx^2)=2/(x^3)，当xy-1≠0时，有y+xy'=0，y'=-(y/x)，两边同时对x求导可得y''=(y-xy')/(x^2)=2y/(x^2)，由于当xy-1=0时，y''=2y/(x^2)=2/(x^3)，因此两式可统一为y''=2y/(x^2)。
解法二：设xy=t，原方程转化为t-lnt-1 =0，该方程仅有一个解t=1，因此xy=1，y''=2/(x^3)。
解法一其实解到xy-1=0的时候，答案就已经出来了，但是题目如果变换成xy=ln(xy)+a的话，那么xy-1=0就不成立，需要继续解下去。