Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；

（2）选择小颖的方法．
证明：如图2，连接EF．
由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
ABDECF（图2）
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
AF=AC∠FAE=∠CAEAE=AE，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，
∴BD2+CE2=DE2．
（利用旋转的方法证明相应给分

（3）当135º＜ ＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下：
如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，
∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。
又∵AC=AB，∴AF＝AC。
又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD
＝∠FAE。
在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。
又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，
∴∠FAG＝∠BEG。
又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝ （∠ADB＋∠DAB）＝ ∠ABC＝90º。
∴∠DFE＝90º。
在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。
【考点】角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和定理。
【分析】（1）由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论。
（2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△OCE中应用勾股定理而证明。
小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90º得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到
△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明。
（3）当135º＜ ＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。仿（2）证明即可。