Question

定积分换元后为何出现了积分上下限相同的情况？哪里错了

将sin2x换成t，积分限同时变为1
这样算出来不就是0了吗？但答案显然不是0，这样做错在哪里？正确做法应该是什么
上面打错了，不是将sin2x换成t 而是√(1-sin2x)换成t
求解

Answer 1

因为√(1-sin2x)在0到π/2不是单调区间,得分为两个区间(0,π/4)和(π/4,π/2)，这两个区间都是单调区间，注意两个区间的t=√(1-sin2x)的反函数是不一样的,但这样换元积分表达式比crs0723的作法麻烦

区间(0,π/4)   t=√(1-sin2x)  的反函数为 x=(1/2)arcsin(1-t²)   x从0到π/4  映射到t从1到0

dx=[-1/√(2-t²)]dt

而区间(π/4，π/2)   t=√(1-sin2x)  的反函数为 x=(1/2)[π-arcsin(1-t²)]      x从π/4到π/2  映射到t从0到1，  dx=[1/√(2-t²)]dt

所以

Answer 2

这里0到pi/2是指X的取值范围，你整个换成t之后应该取t的取值范围，而不是计算原来0和pi/2点值的t值

追问

X=0 X=PI/2 对应的t都是1了

追答

这里面所说的换元是要一一映射的，你这种是不能替换回去的，所以不行，不是满射

Answer 3

将积分区间划分为 [0, pi/4] 和 [pi/4, pi/2] 两个区间，再使用换元法就正确了。这是因为 sin2x 在 [0, pi/2] 区间内是关于 x = pi/4 轴对称的。

Answer 4

因为sin2x在0到pai/2不是单调的。换元的时候在这个区间单调才行

Answer 5

这个应该利用定积分的性质，把它变成区间[0,π/4]的2倍

追问

可以详细点吗？还有这样为什么错了

追答

因为你开出来方后，有一个绝对值，你没有带吧？

追问

我知道正确的解法了，但是还是不知道这样错在哪里，光是换元的时候还没有做到开方的那步，不是绝对值的问题

追答

这个题目根本不需要换元，直接开方即可

追问

是的，但是其他的题目中难道不会出现这种情况吗
最后一条追问了

追答

这个题目如果用换元，只能说对三角函数变形不熟悉
1-2sin2x
=sin^2x+cos^2x-2sinxcosx
=(sinx-cosx)^2
然后再开方