Question

一道立体几何题很给力的！

四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形
(1)证明:PB⊥CD
（2）求二面角A-PD-C的大小（图可自画，不必给出）

Answer 1

（1）
过D作DE∥AB交BC于E，令BD∩AE＝O。
∵DE∥AB、∠ABE＝90°，∴∠BED＝90°，又∠BAD＝90°，∴ABED是矩形。
∵△PAB是等边三角形，∴PA＝AB＝PB。
∵△PAD是等边三角形，∴PA＝AD＝PD，∴PA＝PB＝PD＝AB＝AD。
∵AB＝AD，∴矩形ABED是正方形，∴BO＝DO，又PB＝PD，∴∠POD＝90°。

∵ABED是正方形，∴AO＝DO，又PO＝PO、PA＝PD，∴△PAO≌△PDO，
∴∠POA＝∠POD＝90°，∴PO⊥平面ABCD，∴CD⊥PO。

∵ABED是正方形，∴EC∥AD、BE＝AD，又BC＝2AD，∴EC＝AD。
由EC∥AD、EC＝AD，得：AECD是平行四边形，∴CD∥EA。
∵ABED是正方形，∴EA⊥BD，又CD∥EA，∴CD⊥BD。
由CD⊥BD、CD⊥PO、PO∩BD＝O，得：CD⊥平面PBD，∴PB⊥CD。

（2）
利用赋值法，令AD＝1，则AB＝1、BC＝2，又∠ABC＝90°，
AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（1＋4）＝√5。
显然有：DE＝EC＝1，又EC⊥DE，∴CD＝√2。
∵CD⊥平面PBD，∴CD⊥PD，又PD＝1，∴PC＝√（PD^2＋CD^2）＝√（1＋2）＝√3。
由余弦定理，有：
cos∠APC＝（PA^2＋PC^2－AC^2）/（2PA×PC）＝（1＋3－5）/（2×1×√3）＝－√3/6。

分别取PD、PC的中点为F、G。
显然，FG是△PCD的中位线，∴FG＝CD/2＝√2/2、FG∥CD，又CD⊥PD，∴FG⊥PD。
∵△PAD是等边三角形，又F是PD的中点，∴AD⊥PD，又FG⊥PD，
∴∠AFG是二面角A－PD－C的平面角。

显然有：PG＝PC/2＝√3/2。
∴由余弦定理，有：
AG^2＝PA^2＋PG^2－2PA×PGcos∠APC＝1＋3/4－2×1×（√3/2）×（－√3/6）＝9/4。
容易求出：AF＝√3/2。
∴由余弦定理，有：
cos∠AFG
＝（AF^2＋FG^2－AG^2）/（2AF×FG）＝（3/4＋1/2－9/4）/［2×（√3/2）×（√2/2）］
＝－1/（√6/2）＝－√6/3。
∴∠AFG＝arccos（－√6/3）。
∴二面角A－PD－C的大小为arccos（－√6/3）。

Answer 2

思想：从线到面，从面到线
1
做辅助线PO垂直ABCD面，做DE垂直BC
AB=PA=PB=PD=AD==>ABCD为正方形

BO=AO=DO且PO⊥ABCD==>O点为正方形中心==>BOD为直线==>面PBD⊥面ABCD
EA⊥BD==>EA⊥PBD
EA∥CD==>CD⊥PBD==>CD⊥PB
2
CD⊥PBD了、、、、90°
A到PBD,有等边三角形，有正方形
90°+arctan√2

（90°+arctan√2=arccos（-√2/√3））