Question

闭区间上的单调函数是否有界

若有界？反例：f(x)为无穷大在x=0出，f（x）=1/x,x属于（0，1】 该函数为单调减函数但无界
若无界请说明为什么，谢谢
有数分牛B的大神么 跪求解答~

Answer 1

　　你的例子在 x = 0 无定义，不能讨论[0,1]的有界性问题。有界无界应该在定义域内讨论的。你的标题若改成
　　“闭区间[a,b]上有定义的单调函数是否有界”
则回答是肯定的。因为 f(a) 与 f(b) 已经确定，再由单调性即知函数 f(x) 必在 [a,b]上有界。

追问

我是定义一个函数在0点为无穷大，在（0,1】内为1/x，可以理解为分段函数

追答

“在 x = 0 为无限大”不是定义，实际上函数在 x = 0 是没定义的，该函数的定义域还是(0,1]。

追问

我知道1/x 在0无定义 我没说它在0出为无穷 我是说在0出f（x）为无穷 在剩下的区域内为1/x 0并不是1/x的定义域 可以理解为我构造了一个分段函数 这个分段函数在0点为跳跃间断点

追答

你的函数是
f(x) = 1/x，0<x<=1，
是吧？在x = 0如何定义？你把它写出来。

追问

在0处f(x)=a 为了题目单调减的条件 故a为无穷 就是定义一个点的数值而已 那个点和后面函数没什么关系的

追答

f(x) = 无穷？你的意思是定义
f(x) = 1/x，0<x<=1，
= 无穷，x = 0，
无穷非数值，不能作为函数的值。

追问

其实原来有没有界的问题我知道答案 只是不明白我的反例哪有问题 你的意思也就是说不能定义某个点的值为无穷？

追答

对滴！在高等数学里你见过这样定义的函数吗？这里讨论的是实函数，定义域和值域都必须是实数集，无穷不是数。

追问

ok 明白了 3Q，那闭区间内的函数有界吗？我这里是指该函数在区间内处处有定义

追答

　　这个我前面已经说过：
　　闭区间[a,b]上有定义的单调函数必有界。
因为 f(a) 与 f(b) 已经确定，再由单调性即知函数 f(x) 必在 [a,b]上有界。

追问

。。。现在没有单调的条件我的意思就是 显然不成立的
但是如果举tan x这种函数他在闭区间上的确无界 但是在pai/2处跟本无定义
说某个函数在某某区间内怎么样的话 那区间不该是他的定义域吗？

追答

具体点

追问

我不知道怎么说 你觉得函数在闭区间内有界吗？
无界的话举个例子

追答

你是问“ 闭区间内处处有定义函数有界”，是吗？回答是否定的。例如，函数
f(x) = 1/x，0<x<=1， = 0，x = 0，
就是。

Answer 2

只有在两边都是闭区间的情况下才是有界的

Answer 3

两个都开无界
一开一闭无界，也可以说一边有界，另一边无界
两个都闭有界

追问

。。。y=x在（0,1）无界？。、、、、0为下确界 1为上确界

追答

无界啊
他只能无限靠近0和1

追问

。。。。那叫最值 。。。上界是大于区间内任意一个数 即1, 2,3,4,5,都是上界 最小的上界即为上确界也就是1

追答

好吧，按照你的定义，f（x）=1/x,x属于（0，1】 ，下确界是0

追问

啊 x=0的时候他趋向于无穷大 x=1的时候为1 怎么会有0的？

追答

我虚了

追问

骚年 不要虚加油啊~哈哈

追答

摆脱，我还没学微分