Question

求解题！！ 已知函数f(x)=2-(√3sinx-cosx)^2

（1）求f（π/3）的值和f（x）的最小正周期 （2）f（x）在[-π/6，π/3]上的最大值和最小值。 求详细过程。

Answer 1

答：
f(x)=2-(√3sinx-cosx)²
=2-3sin²x+2√3sinxcosx-cos²x
=2-3(1-cos²x)+√3sin2x-cos²x
=2cos²x-1+√3sin2x
=cos2x+√3sin2x
=2 [ (1/2)cos2x+(√3/2)sin2x]
=2sin(2x+π/6)

（1）f(π/3)=2sin(2π/3+π/6)=1
f(x)的最小正周期T=2π/2=π

（2）-π/6<=x<=π/3，-π/3<=2x<=2π/3
所以：-π/6<=2x+π/6<=5π/6
所以：-1/2<=sin(2x+π/6)<=1
所以：f(x)的最大值为2，最小值为-1

Answer 2

f(x)=2-(√3sinx-cosx)^2可化为f(x)=2-(2sin（x-π/6）)^2
所以最小正周期是2π，f（π/3）=1