Question

二重积分计算？

求平面z=x-y, z=0与柱面x²+ y²=ax在上半空间所围成的立体的体积(a＞0)

有点懵这题出现在二重积分计算，我想这样三重积分搞也不知道怎么弄我这样弄f(x,y,z)是什么?
尽量不要用球坐标什么的(还没学)和极坐标，希望详细点，非常感谢。

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Answer 1

x² + y² = ax 的区域是 D : 0 ≤ x ≤ a, -√(ax-x²) ≤ y ≤ √(ax-x²), 关于 x 轴对称。
求平面 z = x-y, z = 0 与柱面 x²+ y²=ax 在上半空间所围成的立体体积时，
被积函数是 x-y - 0， 即 x-y
V = ∫∫<D>(x-y)dxdy
= ∫<0, a> dx∫<-√(ax-x²), √(ax-x²)> (x-y)dy ， y 是奇函数， 在 D 上积分为 0.
= 2∫<0, a> xdx∫<0, √(ax-x²)> dy = 2∫<0, a> x√(ax-x²)dx
= 2∫<0, a> x√[a^2/4-(x-a/2)²]dx, 令 x = a/2+(a/2)sint,
= 2∫<-π/2, π/2> [a/2+(a/2)sint][(a/2)sint][(a/2)cost]dt
= (a^3/4)∫<-π/2, π/2> [1+sint]sintcostdt
= (a^3/4)∫<-π/2, π/2> [sintcost+cost(sint)^2]dt, sintcost 是奇函数。
= (a^3/2)∫<0, π/2> cost(sint)^2dt
= (a^3/2)∫<0, π/2>(sint)^2dsint
= (a^3/6)[(sint)^3]<0, π/2> = a^3/6