Question

初中 求详解一道数学题

详解！！！！！

如图①，在□ABCD中，AB＝13，BC＝50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度. P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）.连结PQ．
（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为'C、'D，求出''CD//BC时t的值.
求详解

答案是（两种情况三个）

两种情况

前几问的答案不知道能不能用上，写上去

（1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．
（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ
的面积为S．求S与t之间的函数关系式.
（3）过点Q作QR//AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，
当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值.
答案：
（1）当点P沿A-D运动时，AP＝8t-8
当点P沿D-A运动时，AP＝108-8t
(2)S=-30t^2+30t(0＜t＜1）
S=48t-48（1＜t≤29/4）
（3）1或8/3

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Answer 1

1、当点P沿A-D运动时（即P还未到达D时），此时用了t（秒）
依题意，走完BA段只需1s，因此走完AP段用时为（t-1）s，故AP=8（t-1）=8t-8

当点P沿D-A运动时（即P已到达D并开始折返），此时P走的路程为BA+AD+DP
依题意，走完BA段和AD段分别用时为1s和6.25s，因此走完DP段用时为（t-7.25）s
则DP=8（t-7.25）=8t-58，故AP=AD-DP=108-8t

2、当P在BA上时，分别过P、A向BC作垂线，记为h1，h2，则h2=12
那么h1/h2=BP/BA=13t/13，解得h1=12t，则S△BPQ=1/2*BQ*h1=1/2*12t*5t=30t^2
又S△ABQ=1/2*BQ*h2=30t，故S=30t-30t^2，由于P与A不重合，则0〈t〈1

当P在AD上时，S=1/2*AP*12=48t-48（第一问已求出AP=8t-8）
由于BA+AD用时为7.25=29/4，故1＜t≤29/4

3、当P在BA上时（0＜t≤1），记PQ与BR交点为G，依题意S△BPG=S△BQG
由第二问可知S△BPQ=30t^2，则S△BPG=S△BQG=15t^2
因为S△RQG∽S△BPG，则S△RQG/S△BPG（RQ/BP）^2=1/t^2，则S△RQG=15t
又S△BQR=1/2*BQ*12=30t=S△RQG+S△BQG=15t^2+15t，解得t=1

当P在AD上时（1＜t≤29/4），还是记PQ与BR交点为G，依题意S四边形BAPG=S△BQG
S梯形ABQP=1/2（AP+BQ）*12=78t-48（AP=8t-8），那么S四边形BAPG=S△BQG=39t-24
因为S△BQG∽S△RPG，且RP=AR-AP=BQ-AP=8-3t，则BQ/RP=5t/（8-3t）
设S△BQG和S△RPG中BQ及RP上的高分别为h1，h2，那么h1/h2=BQ/RP=5t/（8-3t）
且h1+h2=12，解得h1=30t/（t+4），则S△BQG=1/2*BQ*h1=75t^2/（t+4）=39t-24
化简后：3t^2-11t+8=0，解得t=1或8/3。综上：t=1或8/3

4、简单画一下就可以知道P在BA上时（包括端点）不可能满足C'D'//BC
图6的情况中：当P在AD段时，依题意QCOC'为菱形，OC=QC=50-5t，OD=OC-CD=37-5t=PD
且AP=AD-PD=8t-8，解得t=7

当P在DA段时，PD=OD=37-5t，AP=AD-PD=108-8t，解得t=95/13

图7的情况中：当P在DA段时，PDOD'为菱形，因为AP＝108-8t，则PD=8t-58=OD
CO=OD-CD=8t-71，QC=BC-BQ=50-5t，且QC=OC
那么50-5t=8t-71，解得t=121/13

当P在AD段时，因为AP＝8t-8，则PD=58-8t=OD，CO=OD-CD=45-8t
同理50-5t=45-8t，解得t〈0（不可能）

综上t=7或95/13或121/13