Question

求根号相加最大值（如题）

Answer 1

解：
[√(1+x²+x^4)-√(1+x^4)]/x
=[√(1+x²+x^4)-√(1+x^4)]/(√x²)
=√[(1+x²+x^4)/x²]-√[(1+x^4)/x²]
=√(1/x²+x²+1)-√(1/x²+x²)
令：1/x²+x²=y，有：y＞0，
代入上式，有：
[√(1+x²+x^4)-√(1+x^4)]/x=√(y+1)-√y
设：f(y)=√(y+1)-√y
f'(y)=1/[2√(y+1)]-1/(2√y)
f'(y)=[√y-√(y+1)]/{2√[(y+1)y]}
因为：y＞0，
所以：f'(y)＜0
即：f(y)为单调减函数，
当y→0时，f(y)→f(0)=√(0+1)-√0=1为最大值。

Answer 2

√3-√2
令a=√(x^2+x^(-2),原式=√(a^2+1)-a=1/[√(a^2+1)+a];
x=1时，a最小值为√2，原式最大值为√3-√2.

Answer 3

分子有理化后为x²/x[√(1+x²+x^4)+√(1+x^4)]
=1/[√(x²+1/x²+1)+√(x²+1/x²)]
≤√3-√2