Question

当 x0 时, (1-cosx)ln(1-x)/(1+x)a<ax^b, 求常数a,b的值？

Answer 1

我们对给定的不等式两边取对数，得到：
ln[(1-cosx)/(1+x)] + blnx < ln(a) + ln(1-cosx) - ln(1+x) - ln|x|
现在考虑极限x→0，此时左边的不等式取极限得到：
lim(x→0) ln[(1-cosx)/(1+x)] + blnx ≤ lim(x→0) [ln(a) + ln(1-cosx) - ln(1+x) - ln|x|]
右侧的极限显然为-ln2，因为当x趋近于0时，有：
ln(1-cosx) ≈ -cosx (cosx趋近于0)
ln(1+x) ≈ x
因此，我们得到：
lim(x→0) ln[(1-cosx)/(1+x)] + blnx ≤ ln(a) - ln2
由于左侧的不等式在x=0处有限，所以必须有a>0，而右侧的不等式对任何实数a和b都成立，因此我们可以考虑等式的情况。
对于x=0，原不等式化为：
0 ≤ ln(a) - ln2
因此，必须有a ≥ 2。
现在考虑左侧的极限，应用洛必达法则，得到：
lim(x→0) ln[(1-cosx)/(1+x)] + blnx = lim(x→0) [(sinx/(1-cosx) - 1/(1+x))/x] + b
对右侧应用洛必达法则，得到：
lim(x→0) [(sinx/(1-cosx) - 1/(1+x))/x] = lim(x→0) [(cosx/(1-cosx)^2 + 1/(1+x)^2)/1] = 2
因此，我们得到：
lim(x→0) ln[(1-cosx)/(1+x)] + blnx = 2 + b
因此，我们可以得出结论：
a ≥ 2，b = -2
当且仅当a=2，b=-2时，原不等式对于所有满足x≥0的x成立，即：
(1-cosx)ln(1-x)/(1+x)^2 ≤ 2x^-2

Answer 2

感觉经常刷到你来这上面问答案哈哈哈
令(1-cosx)ln(1-x)/(1+x)取x=0时得到结果-1，根据比较原理可得a=-1, b=0.