Question

求sin x在0到π的定积分是2，但是如果换元的话即设t=sin x，那么积分限就变成0到0了，结果为0，求大神解

Answer 1

你这换元法有问题
换元的时间，区间要一一对应，而sinx在0到π不是单调函数，所以你的换元本身就是错误的。

追问

意思是换元要一一对应，对吧，那么可以分开积分，是0到π分为0到π|2和π|2到π，这俩部分换元后分别计算结果居然相差一个负号，还是0，何解？

追答

可以利用定积分的性质，得出0到π/2积分的2倍

追问

是从面积上看的吧，但是我那么分开做没有错吧，但结果却出现那种情况，何解？

追答

你不觉得，应该先确定方法再去计算吗？

追问

是，如果我直接换元那么函数便不是一一对应，这个肯定不对，我承认，但是如果我从中间分开积分，分成俩段，那么就不存在这个问题了，但是结果依旧不对，分开积分方法没错吧，那么问题在哪？

追答

你为什么要弃简就繁呢，我就很想不通啊。能用对称性质做，你非要计算一下。

追问

arcsin x的定义域是-1到1.这是关键，我明白了，谢谢

追答

本来就是啊，高中的知识

Answer 2

换元法相当于找了一个x=arcsint去代替原来的x去计算，但是x=arcsint在x∈[0,π]上不是映射关系(比如t=1/2的时候x有π/6和5π/6，映射关系要求一个原像对应唯一的一个像)

追问

可以分开积分，是0到π分为0到π|2和π|2到π，这俩部分换元后分别计算结果居然相差一个负号，还是0，何解？

追答

换元法要设x=arcsint
然后求导dx=1/根号(1-t^2)dt

然后再积分，形式很复杂啊

追问

arcsin x的定义域是-1到1.这是关键，我明白了，谢谢