Question

1、求函数y=x²-1/x²+1的值域2、求函数y=x+根号1-x²的值域

Answer 1

答：
（1）
y=(x²-1)/(x²+1)
=(x²+1-2)/(x²+1)
=1-2/(x²+1)
因为：x²>=0
所以：x²+1>=1，0<1/(x²+1)<=1，-2<=-2/(x²+1)<0
所以：1-2<=y<1+0，-1<=y<1
所以：值域为[-1,1)

（2）y=x+√(1-x²)，1-x²>=0，-1<=x<=1
√(1-x²)=y-x>=0，y>=x>=-1
两边平方得：1-x²=x²-2yx+y²
所以：2x²-2yx+y²-1=0
判别式=4y²-4*2(y²-1)>=0
解得：-√2<=y<=√2
综上所述，-1<=y<=√2
所以：值域为[-1,√2]

Answer 2

1、求函数y=x²-1/x²+1的值域
y=x²-1/x²+1=(x-1/x)²+3
当x=1时，y取得最小值为3，所以y的值域是[3,∞)

2、求函数y=x+√(1-x²)的值域
令x=sina， 则：
y=x+√(1-x²)
=sina+cosa
=√2(sina √2/2+cosa√2/2)
=√2(sinaconπ/4+cosasinπ/4)
=√2sin(a+π/4)
这个函数的值域[-√2,√2]
而√(1-x²)>=0,cosa>=0，y最小值为-1，所以原函数的值域[-1,√2].

Answer 3

y=x²-1/x²+1=(x²+1-2)/(x²+1)=1-2/(x²+1) 值域[-1,1)
y=x+√（1-x²）定义域（1-x²≥0，即-1≤x≤1）值域[-1,1]

Answer 4

令x=tany,式子化为cosy^2×(tany^2—1)=siny^2—cosy^2=--cos2y则值域为(--1,1)