Question

如图，在Rt△ABC中，角ACB=90°，以AC为直径的圆O与AB边交于点D，过点D作圆O的切线，交BC于点E

求证BE=CE

Answer 1

因为AC是圆O的直径，
所以CD⊥AB，EC切圆O，
因为ED切圆O，
所以DE=CE，则∠ECD=∠EDC，
所以∠B=∠EDB，则DE=BE=CE，
所以E为BC中点；
所以BE=CE

追问

为什么AC是圆O的直径，
所以CD⊥AB，EC切圆O，不要复制

追答

给你弄详细一点

连接DO

∵∠ACB=90°，AC为直径，

∴EC为点O的切线；

又∵ED也为点O的切线，

∴EC=ED，

又∵∠EDO=90°，

∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°

又∵∠B+∠A=90°，

∴∠BDE=∠B，

∴EB=ED，

∴EB=EC，即点E是边BC的中点；

 

在网上找的另外一种

连接OD、OE
∵OB＝OD
∴∠OBD＝∠ODB
∴∠COD＝∠OBD+∠ODB＝2∠OBD
∵EF切圆O于D
∴∠ODE＝90
∵∠ACB＝90
∴∠ODE＝∠ACB
∵OD＝OC，OE＝OE
∴△OCE≌△ODE  （HL）
∴∠COE＝∠DOE＝∠COD/2，CE＝DE
∴∠COE＝∠OBD
∴OE∥AB
∵OB＝OC
∴OE是△ABC的中位线
∴AE＝CE
∴AE＝DE