Question

已知关于x的二次函数y=ax�0�5+bx+c(a≠0)图像上有两点A（x1,y1）、B（x2,y2）,且满足关系

a�0�5（x1�0�5+x2�0�5+1）+a(bx1+2c+bx2)+y1y2=0,求证这个二次函数的图像必与x轴有两个交点

Answer 1

0=a�0�5（x1�0�5+x2�0�5+1）+a(bx1+2c+bx2)+y1y2
=a�0�5+a(a*x1�0�5+bx1+c)+a(a*x2�0�5+bx2+c)+y1y2
=a�0�5+ay1+ay2+y1y2
=(y1+a)(y2+a)

所以y1和y2中至少有一个等于-a

考虑a
如果a>0，即开口向上，而二次函数图像上又有函数值等于-a<0的点
则图像必与x轴有两个交点
同理a<0，则开口向下，此时二次函数图象上有函数值等于-a>0的点
图像也与x轴有两个交点

因此，无论如何，二次函数图像必与x轴有两交点

Answer 2

把式子化简用韦达定理 x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2X1X2,y1y2=(ax1^2+bX1+c)*(ax2^2bx2+c) 整理后一定可以得到Δ=b^2-4ac＞0 证毕