Question

已知：△ABC中，∠BAC=∠BCA=50°，M是此三角形内一点，且∠MAC=10°，∠MCA=30°，求∠BMC。

不好意思，图发错了！

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Answer 1

∠CMA=180°-∠ACM-∠AMC=180°-30°-10°=140°
∴AM/AC=sin∠ACM/sin∠AMC=sin30°/sin140°
而sin140°=sin40°，sin30°=1/2
∴AM/AC=1/2sin40°，分子分母同乘以cos40°，得
AM/AC=cos40°/(2sin40°cos40°)=sin50°/sin80°
而AB/AC=sin∠ACB/sin∠ABC=sin50°/sin80°
即AM/AC=AB/AC，∴AM=AB
∴∠ABM=∠AMB，而∠BAM=50°-10°=40°
∴∠ABM=(180°-40°)/2=70°，∴∠CBM=80°-10°
即得∠BMC=180°-∠MCB-∠MBC=180°-20°-10°=150°

追问

我还没学cos、sin

追答

那你学到什么了？全等，相似，四点共圆，等等，哪些知识？

追问

初二

追答

那这样来解，看是不是你都学过的知识
作BH⊥AC，交AC于点H，作AD⊥CM，交CM的延长线于点D
则∠DMA=∠MCA+∠MAC=30°+10°=40°
而∠ABH=90°-∠BAH=90°-50°=40°
∴直角△BAH∽直角△MDA
又∠DCA=30°，而直角△中30°对的边=斜边的一半
∴AD=AC/2。∵∠BCA=∠BAC，∴BA=BC
即有H为AC中点，∴AD=AH
再结合直角△BAH∽直角△MDA
可知直角△BA≌直角△MDA
∴AM=AB，∴∠ABM=∠AMB
而∠BAM=50°-10°=40°
∴∠ABM=(180°-40°)/2=70°，∴∠CBM=80°-10°
得∠BMC=180°-∠MCB-∠MBC=180°-20°-10°=150°

追问

不好意思，相似也没学！

Answer 2

140°，多次利用外角，
∠MAB=40°，延长AM到BC边交于G，
∠ABC=80°，∠AMC=40+80=120,∠McB=20°,
∠BMC=120+20=140

追问

在△ACM中，∠ACM=30°（已知）
∠MAC=10°（已知）

所以∠AMC=140°才对呀！

追答

你的图有问题啊。

追问

哦，我A和B打反了，不好意思呀！

我在试着揣摩你的解法！

您能不能重新做一下呢？按照这个图